函数恒成立问题

专题01：可求最值型

基础知识：（1）不等式f(x)0在定义域内恒成立，等价于fxmin0； （2）不等式f(x)0在定义域内恒成立，等价于fxmax0。

【例1】【重庆文】若对任意的x0，

f(x)12x4lnx3x4c2c2

恒成立，求c的取值范围。

【例2】函数

f(x)(x1)ln(x1)kx1

在区间(1,)上恒有f(x)0，求k可以取到的最大整数。

【变式1】函数

f(x)2x24x,g(x)alnx(a0)

，若f(x)4xg(x)恒成立，求a的取值范围。

xfxeax2 【变式2】【2012新课标文】设函数

Ⅰ 求f(x)的单调区间；

Ⅱ 若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值。

【变式3】【2012新课标理】已知函数f(x)满足

12x2

f(x)f(1)ex1f(0)x Ⅰ 求f(x)的解析式及单调区间；

12xaxb2，求(a1)b的值。

Ⅱ 若

f(x)专题02：分离变量型

基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟

2f(x)x1，对任意 【例1】【2010天津】函数

x3x,,f()4m2f(x)f(x1)4f(m)m2

恒成立，求实数m的取值范围。

22(aa)(x1)x0对一切x0,2恒成立，求a的取值范围。 【变式1】【2010安徽】若不等式

【例2】若函数

f(x)x2ax11,2上单调递增，求a的取值范围。 x在

【变式2】【2012湖北】若

1f(x)x2bln(x2)2

在(1,)上是减函数，求b的取值范围。

【变式3】【2014江西】已知函数

f(x)(x2bxb)12x(bR)

1(0,)，若f(x)在区间3上单调递增，求b的取值范围。

专题03：端点与一次函数、二次函数

基础知识：（1）研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。

（2）一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。

xf(x)xe(k0)在(1,1)上单调递增，求k的取值范围。 【例1】【2009北京】若

引申：我们的习惯思维都是默认字母x为函数的自变量，而像a,m,t这样的字母代表参数，但其实

x,a,m,t这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非绝对，

若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将x视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法”。

3f(x)x3ax1的导函数为 【例2】【2009福建】已知函数

f(x),g(x)f(x)ax3.

若对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，求实数x的取值范围。

【例3】【2008天津】已知函数

ab(x0),a,bRx

f(x)x11a,2，4f(x)1024，若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围。

【变式】【2008安徽】设函数

a332xx(a1)x132

f(x)，其中a为实数。

Ⅰ 已知函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；

2f(x)xxa1对任意a0,恒成立，求实数x的取值范围。 Ⅱ 已知

（3）对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设

f(x)ax2bxc(a0)

bb，,，f(x)2a2a上递增，故f(x)的最大值在上不单调且恒大于零，那么在上递减，在也必然在端点处取得。所以对于任何一个函数f(x)而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取得，具体表达如下：

①

f(x)ax2bxc(a0)

fx10,x,x在12上非正，等价于fx20;

②

f(x)ax2bxc(a0)

fx10,在x1,x2上非负，等价于fx20;

3222f(x)xaxbxc1,0ab【例1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是____.

【例2】函数

1f(x)x3mx23m2x13 在区间1,2上单调递增，则实数m的取值范围是____.

专题04：端点效应

基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负）即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了。

【例1】已知函数

f(x)x33(a1)x26ax

，当a0时，若函数f(x)在区间1,2上是单调函数，求a的取值范围.

3f(x)ax3x1，若对于x1,1总有f(x)0恒成立，则a=____. 【例2】【2008江苏】设函数

说明：在例1和例2中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例1通过端点可以不必考虑单增情形，例2通过端点可以缩小a的范围，我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。

函数在端点处的取值有以下三种情形：

f(a)0,a,bf(x)a（1）在区间的端点和b处均有定义且f(b)0;

（2）f(x)在区间a,b的端点a或b处无定义或区间是无限区间a,,,b； （3）f(x)在区间a,b的端点a或b处有f(a)0或f(b)0。

一、端点处的取值有意义且不为0

2f(x)xf(x)x0【例1】【2008天津】设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的xt,t2，

不等式f(xt)2f(x)恒成立，则t的取值范围是（ ）

A. 2, B. 2, C. 0,2

D. 2,12, 【例2】若

f(x)ax2(3a)x2a0

在0,1上恒成立，则实数a的取值范围是________

【变式1】【2013全国卷】已知函数

f(x)x33ax23x1

，当x2,时，f(x)0，求a的取值范围。

【变式2】【2012江西】已知函数

f(x)ax2(a1)x1ex

在0,1上单调递减，求a的取值范围。

【变式3】【2010天津】已知函数

3f(x)ax3x21,a02

11,，若在区间22上f(x)0恒成立，求a的取值范围。

二、端点处的取值没有意义且趋于无穷

f(x)lnx的定义域是0,，且当x趋于0时，f(x)lnx趋于负无穷，当x趋于时，f(x)lnx趋

于正无穷，为了后面方便表述，记f(0),f()。然后不管函数f(x)在区间的端点a处有没有意义，也不管a是否为无穷，我们均记f(a)为当x趋于a时f(x)的值。这样的记法为了后面的叙述。

1x2时，4logax，则a的取值范围是（ ）

【例1】【2012新课标】当

0x220,22,1

 B. C.1,2 D.A. 2,2

【例2】函数

12x(1a)x(x0)2

f(x)alnx，若f(x)0对定义域内任意x恒成立，求实数a的取值范围。

【例3】【2012天津】函数

1f(x)x,x1,,f(mx)mf(x)0x

恒成立，则实数m的取值范围是_______.

【例4】【2013新课标】设函数

f(x)x24x2,g(x)2ex(x1)

，若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围。

【例5】【2009江西】已知函数

f(x)2mx22(4m)x1,g(x)mx

，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正，则m的取值范围是______.

【变式1】不等式

loga(x22x3)1(x2)

恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

11,10,33A.  B. C.1,3 D.3,

【变式2】【2011北京】设函数f(x)(xk)e，若对于任意的x0,，都有

2xkf(x)1e，求实数k的

取值范围。

xxf(x)ee【变式3】【2014江苏】已知函数，其中e是自然对数的底数，若关于x的不等式

mf(x)exm1在0,上恒成立，求实数m的取值范围。

【变式4】【2012北京文】已知

f(x)m(x2m)(xm3),g(x)2x2

，若xR,f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是______.

【变式5】【2012北京理】已知

f(x)m(x2m)(xm3),g(x)2x2

，若同时满足（1） xR,f(x)0或g(x)0；（2）

x,4,f(x)g(x)0

，则m的取值范围是______.

三、端点处的取值为0

（1）若多项式函数f(x)满足f(a)0，则f(x)一定可以分解成f(x)(xa)g(x)这种形式，其中g(x)也为多项式函数。

【例1】【2009全国卷】已知

f(x)3ax42(3a1)x24x

在1,1上是增函数，求a的取值范围。

【例2】【2012浙江理】设aR，若x0时均有

(a1)x1(x2ax1)0

，则a______.

【例3】【2009天津】已知

1f(x)x3x2(m21)x,m0,f(x)03

有三个不同的实根，分别为0,x1,x2(x1x2)若对任意的xx1,x2,f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围。

32f(x)ax3x【变式1】【2008全国卷】设函数，若

g(x)f(x)f(x)(0x2)

在x0处取得最大值，求a的取值范围。

32【变式2】【2011湖北】已知x3x2xmx有三个不同的实根，分别为0,x1,x2(x1x2)，且对任意32x3x2xm(x1)恒成立，求实数m的取值范围。 xx,x12的，

32f(x)axbxcx的多项注意：若多项式函数有明显的根，分解因式能够将函数降次，特别是形如2f(x)x(axbxc)，需掌握此多项式。 式函数，是高考中的常见情形，它可以分解成

（2）若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式，这些函数虽然在端点处的值为零，但不能将它们分解，对此需用以下知识点：

①f(x)0在a,b上恒成立，若f(a)0，则f(a)0；若f(b)0，则f(b)0 ②f(x)0在a,b上恒成立，若f(a)0，则f(a)0；若f(b)0，则f(b)0

特别提醒：这里的结论只是必要条件，不一定是充分条件。

xxf(x)ee【例1】【2007全国Ⅰ理】 已知函数

Ⅰ 证明：f(x)的导数f(x)2；

Ⅱ 若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围。

x2f(x)x(e1)ax【例2】【2008全国Ⅱ文】 已知函数

Ⅰ 若

a12，求f(x)的单调区间；

Ⅱ 若x0时，f(x)0，求a的取值范围。

sinx2cosx 【例3】【2008全国Ⅱ理】 已知函数f(x)Ⅰ 求f(x)的单调区间；

Ⅱ 如果对任何x0时，都有f(x)ax，求a的取值范围。

x2f(x)e1xax【例4】【2010新课标理】 已知函数

Ⅰ 若a0，求f(x)的单调区间；

Ⅱ 若x0时，f(x)0，求a的取值范围。

【例5】【2013全国理】 已知函数

x(1x)1x f(x)ln(1x)Ⅰ 若x0时，f(x)0，求的最小值；

Ⅱ 设数列an的通项

an11111a2nanln223n，证明：4n。

xx【例6】【2014全国Ⅱ理】已知函数f(x)ee2x.

Ⅰ 讨论f(x)的单调性；

Ⅱ 设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；

Ⅲ 已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到）.

【例7】【2012大纲理】设函数

f(x)axcosx,x0,

.

Ⅰ 讨论f(x)的单调性；

Ⅱ 设f(x)1sinx，求a的取值范围。

总结：对于无法求最值的恒成立问题，解题的基本步骤如下

（1）首先由端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；

（2）然后利用这个范围去判断导数是否恒正或恒负；

（3）如果导数不变号，则由端点得到的范围就是最终答案，如果导数变号，则去判断函数的增减性（若函数先增后减，则最小值在端点处取得，若函数先减后增，则最大值在端点处取得）。