高三数学(理)多面体、立体综合人教版知识精讲.doc

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

多面体、立体综合

二. 重点、难点：

圆柱1. 柱体 斜棱柱棱柱直棱柱正棱柱圆锥2. 锥体

棱锥正棱锥3. 多面体、简单多面体、凸多面体

4. 正多面体，只有五种（正四、正六、正八、正十二、正二十） 5. 欧拉公式：VFE2

【典型例题】

[例1] 某简单几何体，由16个三角形围成，则这个几何体有 个顶点。

解：VFE2 F=16 E∴ V2421610

[例2] 某简单几何体，由三角形围成，有10个顶点，其中四个顶点引出四条棱，6个顶点引出三条棱，则这个几何体有 个面。 解：VFE2 V=10 E116324 21[4463]17 F=9 2

[例3] 正四面体ABCD，棱长均为a，则高= ，体积 ，侧棱与底面所成角 ，侧面与底面所成角 ，内切球半径 ，外接球半径 ，AB、CD的距离 。

解：E为BC中点，H为BCD垂心 ∴ DE3a 23a EH36∴ 解依次为：a，

3DH6366a HFa AHa AFa 463121233662a，arccos，arccos，a，a，a

31231242

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[例4] 半径为1的球的内接正四棱柱的体积的最大值。

解：设底面边长为a，高为h ∴ 2a2h2(2R)24

h21Vah(2)hh32h

2232323Vh220 h ∴ h

2332383时，Vmax a392

[例5] 直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2，ACB90，E、F、G为AC、AA1、AB中点，求证：

（1）B1C1//面EFG；

（2）求异面直线FG与AC1所成角； （3）求三棱锥B1EFG的体积。 解：

B1C1//BCB1C1//GEB1C1//面EFG

BC//EG（2）D为A1C1中点 ∴ DF//AC1 ∴ DFG为AC1与GF所成的角

1DFAC12 GFAG2AF23 DGDE2GE25

2GF2DF2DG2cosDFG0

2GFDF∴ AC1与GF所成角为90

1（3）VB1EFGd（B1，面EFG）SGEF

312 SGEFGEEF2211VAEFGSAEGAFSGEFd（A，面GEF）

332∴ d（A，面GEF）=

2312312 ∴ VB1EFG∴ d（B1，面GEF）=2 23222（1）

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[例6] 四棱锥PABCD棱长均为1，EPD，并且面EAC//PB。

（1）求二面角EADC； （2）求CE与底面所成角； （3）求AB、CE所成角；

（4）求四面体EPBC的体积。

解：ACBDHPH面ABCD ∴ 连EH

EH//PB ∴ E为PD中点

面PBD面ACEEH（1）EADC二面角 即PADBC二面角为arcsin（2）F为DH中点，连EF ∴ EF//PH ∴ EF⊥面ABCD

PB//面ACE3 3236 EC ∴ ECFarcsin 426（3）AB、CE所成角为ECD30

1211212（4）VEPBCVPBCDVEBCD 32234224ECF为所求 EF

[例7] 等腰梯形ABCD中，CD=12，AB=20，高为215，MN为上下底边的垂直平分线，沿MN折成120二面角。

（1）求AC、MN所成角； （2）求AE、MN距离；

（3）求AC与面ADMN所成角。 解：

（1）过C作CE⊥DN于E ∴ CE//MN ∴ ACE为所求

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NE=6 AE=14 CE=MN=215 ACEarctan715 15

（2）过N作NF⊥AE于F，NF为MN、AE公垂线 ∴ NF（3）CHBC于H ∴ CH⊥面ADMN CAH为所求 CH=33 AC=16 CAHarcsin153 733 16

[例8] 矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥面ABCD，PA=1。

（1）a为何值时，BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；

（2）当BC上有且仅有一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角QPDA。

解：

PQQD（1）QD面PAQQDAQ

PAQDBC上存在点Q AQQD 以AD为直径的圆与BC有交点 ∴ a2

（2）由上，a2时，仅有一点

∴ Q为BC中点，E为AD中点，连QE//AB ∴ QE⊥面PAD

过E作EH⊥PD于H ∴ QHE为二面角QPDA平面角 QE=1 EH=

2 EHQarctan22 4

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

1. 下列命题①多面体的面数量少为4，② 正多面体只有5种，③ 凸多面体是简单多面体，④ 一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体，其中正确的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 正十二面体和正二十面体的棱数分别是（ ）

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A. 29，30 B. 30，30 C. 30，31 D. 32，35

3. 其正棱锥的底面边长与侧面棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 4. 下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）

A B C D

5. 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角总和为（ ） A. 5400 B. 6480 C. 7200 D. 7920

6. 正四面体ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则EF与CD所成的角等于（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 30

7. 一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则n等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8. 已知甲烷的分子结构是：中心为一个碳原子，外围有4个氢原子（这四个氢原子构成一个正四面体的四个顶点），设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为，则cos等于（ ） A. 1111 B. C.  D. 33229. 若一个简单多面体的各个顶点有三条棱，则2FV= 。

10. 体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是 。

11. 以正四面体、正六面体、正八面体的各面的中心为顶点的多面体分别是 。 12. 下列命题：① 多面体的面数最少为4；② 正多面体只有5种；③ 凸多面体都是简单多面体；④ 一个几何体表面，经过连结变形为球面的就叫简单多面体，其中正确的命题是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）。

13. 连接正方体相邻面的中心，得一个正八面体，那么这个正八面体与正方体体积之比为 。

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试题答案

1. D 2. B 3. D 4. D 5. B 6. A 7. C 8. A 9. 4 10.22 11. 正四、正八、正六面体 12. ①②③④ 13.

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