2021年全国统一高考数学试卷(含答案)(文科)(乙卷)

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（ ） A．{5} 4}

2．（5分）设iz＝4+3i，则z＝（ ） A．﹣3﹣4i

B．﹣3+4i

C．3﹣4i

D．3+4i

B．{1，2}

C．{3，4}

D．{1，2，3，

3．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q

B．￢p∧q

C．p∧￢q

D．￢（p∨q）

4．（5分）函数（fx）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（ ） A．3π和

B．3π和2

C．6π和

D．6π和2

5（．5分）若x，y满足约束条件A．18 6．（5分）cos2

A．

B．10 ﹣cos2B．

则z＝3x+y的最小值为（ ） C．6

D．4

＝（ ）

C．

D．

7．（5分）在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ） A．

B． C．

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D．

8．（5分）下列函数中最小值为4的是（ ） A．y＝x2+2x+4 C．y＝2x+22﹣x 9．（5分）设函数f（x）＝A．f（x﹣1）﹣1

D．f（x+1）+1

B．y＝|sinx|+D．y＝lnx+

，则下列函数中为奇函数的是（ ）

B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1

10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A．

B．

C．

D．

11．（5分）设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．2

12．（5分）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（ ） A．a＜b

B．a＞b

C．ab＜a2

D．ab＞a2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．（5分）已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝ ． 14．（5分）双曲线

﹣

＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离

为 ．

15．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为

，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝ ．

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16．（5分）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 备

新设10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 备

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22． （1）求，，s12，s22；

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9.8 10.0 10.1 10.2 9.7

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2

，则认为新设备生产产品的该项指标的

均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM． （1）证明：平面PAM⊥平面PBD；

（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

19．（12分）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝已知a1，3a2，9a3成等差数列． （1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜

． ，

20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．

21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．

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（1）讨论f（x）的单调性；

（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．

（1）写出⊙C的一个参数方程；

（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．

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参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 参考答案：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，

∴M∪N＝{1，2，3，4}， ∴∁U（M∪N）＝{5}． 故选：A．

点拨：本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 2． 参考答案：由iz＝4+3i，得z＝故选：C．

点拨：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3． 参考答案：对于命题p：∃x∈R，sinx＜1，

当x＝0时，sinx＝0＜1，故命题p为真命题，￢p为假命题； 对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，

因为|x|≥0，又函数y＝ex为单调递增函数，故e|x|≥e0＝1， 故命题q为真命题，￢q为假命题，

所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢（p∨q）为假命题， 故选：A．

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．

点拨：本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 4． 参考答案：∵f（x）＝sin+cos＝∴T＝

＝6π．

）＝1时，函数f（x）取得最大值

．

；

sin（+

），

当sin（+

∴函数f（x）的周期为 6π，最大值故选：C．

点拨：本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5． 参考答案：由约束条件作出可行域如图， 联立

，解得A（1，3），

由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6． 故选：C．

点拨：本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题． 6． 参考答案：法一、cos2

﹣cos2

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＝＝＝法二、cos2＝cos2＝cos

﹣cos2

．

﹣sin2＝

．

故选：D．

点拨：本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题． 7． 参考答案：由于试验的全部结果构成的区域长度为﹣0＝， 构成该事件的区域长度为﹣0＝， 所以取到的数小于的概率P＝＝． 故选：B．

点拨：本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．

8． 参考答案：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A错误； 对于|sinx|+当且仅当

B，因为

0＜|sinx|≤1，所以

，

，即|sinx|＝2时取等号，

y＝

因为|sinx|≤1，所以等号取不到，

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所以y＝|sinx|+＞4，故选项B错误；

，

对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C正确； 对于D，因为当x＝时，

所以函数的最小值不是4，故选项D错误． 故选：C．

，

点拨：本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．

9． 参考答案：因为f（x）＝

＝

，

所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），

所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位， 得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0）， 故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数． 故选：B．

点拨：本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f（x）的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 10．【解答】解∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），

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设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2， 则PB1＝PC1＝＝

，

＝

＝

，

＝

，BC1＝

＝2

，BP＝

∴cos∠PBC1＝∴∠PBC1＝

，

∴直线PB与AD1所成的角为故选：D．

．

点拨：本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．

11． 参考答案：B是椭圆C：点P在C上，设P（所以|PB|＝＝当sinθ＝故选：A．

点拨：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

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+y2＝1的上顶点，所以B（0，1）， ，sinθ），θ∈[0，2π），

＝

，

＝

时，|PB|取得最大值，最大值为．

12． 参考答案：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，

当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，

则0＜a＜b；

当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，

则b＜a＜0； 综上，ab＞a2． 故选：D．

点拨：本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。

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13． 参考答案：因为＝（2，5），＝（λ，4），∥， 所以8﹣5λ＝0，解得λ＝． 故答案为：．

点拨：本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．

14． 参考答案：双曲线

﹣

＝1的右焦点（3，0），

＝

．

所以右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为d＝故答案为：

．

点拨：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．

15． 参考答案：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为

，B＝60°，a2+c2＝3ac，

⇒ac×

⇒＝．

＝

⇒ac＝4⇒a2+c2＝12， ⇒b＝2

，（负值舍）

∴acsinB＝又cosB＝故答案为：2

点拨：本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题． 16． 参考答案：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图， ④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，

当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，

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当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④． 故答案为：②⑤或③④．

点拨：该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17． 参考答案：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10， ＝

（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）

＝10.3， s12＝

2

[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）

+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2

+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036； s22＝

[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0

﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2

+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）

2

+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；

，

，

（2）

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因为所以﹣＞2

，

，

故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 点拨：本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．

18．【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD， ∴PD⊥AM， 又∵PB⊥AM，

PD∩PB＝P，PB，PD⊂平面PBD． ∴AM⊥平面PBD． ∵AM⊂平面PAM， ∴平面PAM⊥平面PBD； （2）解：由PD⊥底面ABCD，

∴PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，△DPB是直角三角形； ∵ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．

设AD＝BC＝2a，取CP的中点为F．作EF⊥CD交于E， 连接MF，AF，AE， 可得MF∥PB，EF∥DP，

那么AM⊥MF．且EF＝．AE＝

＝．

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＝，AM＝

，

∵△DPB是直角三角形， ∴根据勾股定理：BP＝由△AMF是直角三角形， 可得AM2+MF2＝AF2， 解得a＝

．

，

＝

．

，则MF＝

；

底面ABCD的面积S＝

则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝

点拨：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题．

19． 参考答案：（1）∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2＝a1+9a3， ∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q， 则6q＝1+9q2，∴q＝， ∴an＝a1qn﹣1＝∴bn＝

＝n•

， ．

，bn＝n•

，

（2）证明：由（1）知an＝

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∴＝， ，①

∴

①﹣②得，∴∴∴Tn＜

＝．

，

﹣

，② ，

＜0，

点拨：本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n项和公式和利用错位相减法求数列的前n项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．

20．【解答】（1）解：由题意知，p＝2， ∴y2＝4x．

（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（1，0）， 设点Q的坐标为（m，n）， 则＝（1﹣m，﹣n），

∴P点坐标为（10m﹣9，10n）， 将点P代入C得100n2＝40m﹣36， 整理得∴

，

，当n＝时取最大值．

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故答案为：．

点拨：本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．

21． 参考答案：（1）f′（x）＝3x2﹣2x+a，△＝4﹣12a， ①当△≤0，即

时，由于f′（x）的图象是开口向上的抛物线，

故此时f′（x）≥0，则f（x）在R上单调递增； ②当△＞0，即

时，令f′（x）＝0，解得，

令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x2，令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，

∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减； 综上，当

时，f（x）在R上单调递增；当

单调递增，在

单调递减．

（2）设曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为

，

则切线方程为

将原点代入切线方程有，∴切线方程为y＝（a+1）x，

令x3﹣x2+ax+1＝（a+1）x，即x3﹣x2﹣x+1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，

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时，f（x）在

，

，解得x0＝1，

∴曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，a+1）和（﹣1，﹣a﹣1）．

点拨：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22． 参考答案：（1）⊙C的圆心为C（2，1），半径为1， 则⊙C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1， ⊙C的一个参数方程为

（θ为参数）．

（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，

设切线方程为y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+1＝0， 圆心C（2，1）到切线的距离d＝所以切线方程为y＝±

（x﹣4）+1，

＝1，解得k＝±

，

因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ＝±

（ρcosθ﹣4）+1．

点拨：本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题． [选修4-5：不等式选讲]（10分）

23． 参考答案：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|＝

，

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∵f（x）≥6，∴∴x≤﹣4或x≥2，

或或，

∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）． （2）f（x）＝|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|＝|a+3|， 若f（x）＞﹣a，则|a+3|＞﹣a，

两边平方可得a2+6a+9＞a2，解得a＞﹣， 即a的取值范围是（﹣，+∞）．

点拨：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．

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